A regra de Cramer por geometria

Uma coisa que sempre me fascinou foi o uso de determinantes na resolução de sistemas lineares com número de linhas igual ao de colunas. Além disso, gosto sempre de criar uma imagem intuitiva nos métodos que uso, pois intuição, ao meu ver, é tão importante quanto o rigor. Com isso em mente, venho aqui mostrar a maneira como imagino a relação entre sistema de equações lineares e determinante.
Sabe-se que, dado dois vetores u e v , no plano xOy, o valor da área do paralelogramo formado com seus lados é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vetores. Isto é, se
u= \left( \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right) e v= \left( \begin{array}{ccc} v_1 \\ v_2 \end{array} \right),
então área será o módulo de
det\left( \begin{array}{ccc} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2\end{array} \right)=det\left( \begin{array}{ccc} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2\end{array} \right).
Esse resultado pode ser obtido com o uso do produto vetorial sobre dois vetores no plano xOy. Para saber mais sobre produto vetorial dê uma olhada em:
http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/08/sobre-o-produto-vetorial.html
A fim de compreender melhor o processo a seguir, consideraremos o determinante acima como sendo a área (isso é verdade desde que a regra da mão direita seja aplicada corretamente).
Partamos para a resolução dos sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas. Observe que o sistema linear
\left\{ \begin{array}{ccc}  {a_{11}.x_1+a_{12}.x_2=b_1} \\  { a_{21}.x_1+a_{22}.x_2=b_2}\end{array} \right.
pode ser escrito como
x_1. \left( \begin{array}{ccc} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right) + x_2. \left(\begin{array}{ccc} a_{12} \\ a_{22} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} b_{1} \\ b_{2} \end{array} \right).
Obtemos então a seguinte figura:

Observe que a área do paralelogramo OEB''E é igual à área do paralelogramo OCB'B (Eles têm a mesma altura). Temos então:
det\left( \begin{array}{ccc} x_1.a_{11} & a_{12} \\ x_1.a_{21} & a_{22} \end{array} \right)=det\left( \begin{array}{ccc} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{array} \right),

ou seja,
det\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right).x_1=det\left( \begin{array}{ccc} b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22} \end{array} \right),
que é a regra aplicada à determinação da variável x_1. Sua visualização geométrica na obtenção de x_2 é análoga.
Outro sistema que pode ser obtido geométricamente é o de três equações e três encógnitas. Analisemo-lo:
\left\{ \begin{array}{ccc}  {a_{11}.x_1+a_{12}.x_2+a_{13}=b_1} \\  {a_{21}.x_1+a_{22}.x_2+a_{23}=b_2}\\  {a_{31}.x_1+a_{32}.x_2+a_{33}=b_3} \end{array} \right. .

Podemos o escrever da seguinte maneira:
x_1. \left( \begin{array}{ccc} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{array} \right) + x_2. \left(\begin{array}{ccc} a_{12} \\ a_{22} \\ a_{32} \end{array} \right) +x_3. \left( \begin{array}{ccc} a_{13} \\ a_{23} \\ a_{33} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} b_{1} \\ b_{2} \\ b_3 \end{array} \right).
Observe a figura abaixo (por favor click na figura para melhor visualizá-la):

Os paralelepipedos AELCDONM e APQCDRKM tem mesmo volume (Têm a mesma área da base e altura). O volume pode ser obtido com o produto misto dos vetores, desde que obedeçam certa ordem.
Observação: Para mais informações sobre produto

misto e produto escalar veja, respectivamente:

http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2010/09/sobre-o-produto-misto.html
http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2009/09/sobre-o-produto-escalar.html

Temos então a seguinte relação:
\vec{AE}.(\vec{AC}\times\vec{AD})=\vec{AK}.(\vec{AC}\times\vec{AD}),

det\left( \begin{array}{ccc} x_1.a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ x_1.a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ x_1.a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)=det\left( \begin{array}{ccc} b_1 & a_{12} & a_{13}\\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{array} \right),

det\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right).x_1=det\left( \begin{array}{ccc} b_1 & a_{12} & a_{13}\\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{array} \right).

A demonstração para as outras duas incógnitas restantes é análoga.

Referência Bibliográfica:

http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer’s_rule
http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/


O teorema de Newton

Teorema de Newton:
Seja P(x)=a_n.x^n+...+a_0 um polinômio de coeficientes complexos.
Sabe-se que esse polinômio tem n raizes, x_1, ... e x_n.
Considere a soma
S(k)={x_1}^k+...+{x_n}^k .
O teorema de Newton diz que
a_n.S(k)+...+a_0.S(k-n)=0
para qualquer k inteiro.
Demonstração:
Sabe-se que para toda raiz x_i=0 ,tem-se P(x_i)=0,ou seja, a soma a seguir é zero.
x_1^{k-n}.P(x_1)+...+x_n^{k-n}.P(x_n)=0.
o que implica em
\sum_{j=1}^{n}x_j^{k-n}.P(x_j)=0,
\sum_{j=1}^{n}x_j^{k-n}.(a_n.x_j^n+...+a_0)=0,
\sum_{j=1}^{n}(a_n.x_j^k+...+a_0.x^{k-n})=0,
a_n.\sum_{j=1}^{n}{x_j^k}
+...+a_0.\sum_{j=1}^{n}{x^{k-n}}=0,
a_nS(k)+...+a_0.S(k-n)=0.
C.q.d.
Exemplo: Vamos fatorar x^3+y^3+z^3-3xyz.
Considere o polinômio P(w)=(w-x)(w-y)(w-z).
Temos:
P(w)=w^3-(x+y+z).w^2+(x.y+x.z+y.z).w-xyz.
O teorema de Newton afirma que
(x^3+y^3+z^3)-(x+y+z).(x^2+y^2+z^2)
+(x.y+x.z+y.z).(x+y+z)-xyz(x^0+y^0+z^0)=0.
De onde segue que
(x^3+y^3+z^3)
-(x+y+z).((x^2+y^2+z^2)-(x.y+x.z+y.z))
-3xyz=0,
x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z).(x^2+y^2+z^2-x.y-x.z-y.z).
Falarei mais dessa identidade no futuro.
Obs.: Essa fórmula serve também para calcular a soma dos inversos das potências também, basta fazer k<n, mas pode haver problemas caso uma das soluções seja zero, pois estariamos invertendo zero (o inverso de zero não é definido nos reais).
Espero que tenham gostado. Peço perdão pela postagem mal feita e concisa, não tenho muita habilidade com blogs e Latex, e espero falar mais de matemática no futuro, porém com melhor desenvoltura.

Referência Bibliográfica:

Guimarães, Caio dos Santos. Matemática em Nível IME ITA. Vestseller, 2008.